证明正114514面体不存在

在三维欧几里得空间中，正多面体（也称为柏拉图立体）是指所有面都是全等的正多边形、所有顶点性质相同（即每个顶点处的面数、边数相同）的凸多面体。根据经典的几何定理，只有五种正多面体存在：正四面体（4个面）、正六面体（立方体，6个面）、正八面体（8个面）、正十二面体（12个面）和正二十面体（20个面）。面数为114514的正多面体不存在，以下是详细证明。

证明步骤

正多面体的存在性受两个关键条件约束：欧拉公式和角度和条件。设正多面体的每个面为正边形（），每个顶点处有个面相交（）。记为面数，为边数，为顶点数。

欧拉公式：
对于凸多面体，欧拉公式为：
边和顶点的关系：
由于每条边被两个面共享，且被两个顶点共享，有：
$每个面有条边，每条边属于两个面$
$每个顶点有条边相交，每条边连接两个顶点$
由上式可得：
代入欧拉公式：
将和代入欧拉公式：

两边同乘消分母：

整理为：

因此：
角度和条件：
在每个顶点处，个正边形的内角之和必须小于。正边形的每个内角为弧度，或。因此：

简化：
枚举可能解：
根据，所有可能整数解为：
计算面数 ：
对每个组合：
- ：（正四面体）
- ：（正八面体）
- ：（正二十面体）
- ：（立方体）
- ：（正十二面体）
检验：
114514 不在集合中，且无法通过任何整数组合生成，因此不存在。

结论

由于三维空间中正多面体的面数只能是 4、6、8、12 或 20，而，因此不存在面数为114514的正多面体。

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